Note 2
3.7 - Forme Differenziali

Affrontiamo adesso la teoria delle forme differenziali.
Questi oggetti sono di enorme aiuto in quanto, come vedremo, forniscono un approccio unificato per l'integrazione su varietà di qualunque dimensione.
Oltre al loro ruolo nell'integrazione, le forme differenziali forniscono un quadro per generalizzare vari concetti dal calcolo multivariabile come il prodotto vettoriale, il rotore e la divergenza, e il determinante Jacobiano.

Le 1-forme differenziali
...

Così come un campo vettoriale assegna un vettore tangente a ciascun punto di un aperto , dualmente una -forma differenziale assegnerà a ciascun punto in esso un funzionale lineare sullo spazio tangente in tale punto.
Definiamo quindi, come prima cosa, lo spazio di questi funzionali.

Definizione 3.7.1 (Spazio cotangente).

Sia .

Si dice spazio cotangente a in , e si denota con , lo spazio duale .

Pertanto, un elemento dello spazio cotangente è un funzionale lineare sullo spazio tangente .

A questo punto possiamo dare la definizione parallela a quella di campo vettoriale.

Definizione 3.7.2 (-Forma differenziale).

Si dice -forma differenziale su un aperto una funzione che assegna ad ogni punto un funzionale lineare in .

Formalmente si tratta di una mappa del tipo , tale che per ogni .

Per comodità di notazione, denoteremo sempre con .

Il differenziale di una funzione
...

Da qualsiasi funzione , possiamo costruire una 1-forma , di particolare importanza.

Definizione 3.7.3 (Differenziale di una funzione).

Sia aperto;
sia .

Si dice differenziale di la 1-forma

Soffermiamoci un attimo su questa definizione.
La derivata direzionale di una funzione nella direzione di un vettore tangente in un punto stabilisce una mappa bilineare

Sappiamo che un vettore tangente non è altro che una -derivazione da a , quindi possiamo interpretarlo come funzione sul secondo argomento di questa mappa: .
Invece, il differenziale lo otteniamo dualmente come funzione sul primo argomento della mappa: .

La base canonica per lo spazio cotangente
...

Siano le coordinate standard su ;
sappiamo che è la base canonica per lo spazio tangente (Corollario 3.2.7).

Esibiamo adesso la sua base duale, per lo spazio cotangente .

Proposizione 3.7.4 (Duale della base canonica per lo spazio tangente).

Sia ;
sia la base canonica per lo spazio tangente .

La sua base duale per lo spazio cotangente è data da 𝓍𝓍, dove 𝓍è la proiezione sulla -esima componente.

Dimostrazione

Dobbiamo solo verificare che 𝓍.
Questo è vero, in quanto 𝓍𝓍

In

Nota: Se e sono le coordinate su , allora e sono le 1-forme di base su .
In questo modo, diamo significato a ciò che era semplicemente una notazione nell'analisi ordinaria.

Se è una -forma su un aperto , grazie a questa proposizione possiamo scrivere questa come una combinazione lineare unica, in ogni punto :

𝓍con .
Al variare di , i coefficienti sono quindi funzioni da in , e scriveremo formalmente 𝓍Anche in questo caso, una volta introdotte le operazioni tra -forme, considereremo questa espressione in termini di esse.
Come per i campi vettoriali, possiamo estendere il concetto di classe ad una -forma, tramite le .

Definizione 3.7.5 (-Forme lisce).

Una -forma 𝓍su un aperto si dice di classe (o liscia) su , se le funzioni coefficienti sono tutte di classe su .

Denotiamo con l'insieme di tutte le -forme di classe su .

​
Vediamo come applicare la Proposizione 3.7.4 per scrivere il differenziale di una funzione in termini di coordinate.

Proposizione 3.7.6 (Il differenziale in termini di coordinate).

Sia aperto;
sia .

Si ha 𝓍

Dimostrazione

In ogni punto , scriviamo in termini della base canonica di (Proposizione 3.7.4): 𝓍Sempre grazie a tale proposizione, dalle proprietà delle basi duali troviamo che per ogni .

Allora, nella prima espressione possiamo sostituire con il primo membro della seconda uguaglianza, ottenendo così 𝓍Dall'arbitrarietà di segue la tesi.

​

Corollario 3.7.7 (Differenziale di funzioni lisce è una -forma liscia).

Sia aperto;
sia .

Il differenziale è una -forma di classe .

Dimostrazione
Basta vedere la scrittura di secondo la Proposizione 3.7.6;
le derivate parziali sono i coefficienti di , che sono di classe essendo tale.

​

Osservazione 3.7.8 (Vettori tangenti e -forme).

Le 1-forme differenziali sorgono naturalmente anche se siamo interessati solo ai vettori tangenti.
Al variare di , possiamo scrivere questo vettore in termini della base canonica: Dalla Proposizione 3.7.4 e dalle proprietà della base duale troviamo che 𝓍Dunque, il coefficiente di un vettore tangente in rispetto alla base canonica non è altro che il funzionale 𝓍su .

come modulo duale di
...

Come nel caso dei campi vettoriali, dato un aperto possiamo definire delle operazioni sull'insieme , simili a quelle di .

Date due -forme 𝓍e 𝓍, è ancora in la -forma 𝓍Similmente, dati 𝓍e una funzione , è ancora in la -forma 𝓍Quindi, con queste operazioni, assume la struttura di -modulo.

Vediamo ora che, con questa struttura, diventa essenzialmente il duale di ;
l'idea dietro l'identificazione è la seguente.
Per come l'abbiamo definita, una -forma invia un punto in una funzione da a ;
allora, possiamo pensare di "invertire le valutazioni", e inviare prima un campo in una funzione da a , dimodoché fare sia equivalente a fare .

Dato quindi , consideriamo la mappa vediamo subito che questa è un'applicazione -lineare, dunque un elemento di :
per ogni , e abbiamo infatti

Serviamoci quindi di queste mappe per identificare canonicamente e .

Proposizione 3.7.9 (Isomorfismo naturale tra e ).

Sia aperto.
Per ogni , sia definita da

Si hanno i seguenti fatti:

  • Si ha per ogni ;
  • La mappa è un isomorfismo di -moduli.

Dimostrazione
La -linearità di è abbastanza immediata.

Mostriamo che è iniettiva.
Sia dunque tale che sia identicamente nulla per ogni ;
scriviamo in termini di coordinate: 𝓍Consideriamo il campo al variare di ;
abbiamo 𝓍poiché 𝓍𝓍per ogni (Proposizione 3.7.4), troviamo che il secondo membro equivale a ;
dunque troviamo che , per ogni .

Verifichiamo ora la suriettività di .
Fissiamo dunque , e motivati dal calcolo precedente poniamo per ogni ;
consideriamo allora la -forma 𝓍.
per ogni campo , abbiamo d'altra parte, troviamo anche 𝓍𝓍Dunque, .

​

Osservazione 3.7.10 (Identificazione di tramite i differenziali di Kähler).

Il Corollario 3.5.6 afferma che è isomorfo a ;
dalla Proposizione 3.7.9 abbiamo allora che è isomorfo a .

Le -forme differenziali
...

Adesso applicheremo ciò che abbiamo visto in 3.6 - Un Po' di Algebra Multilineare > Il prodotto esterno, per definire una -forma differenziale, per ogni intero.

Definizione 3.7.11 (-Forma differenziale).

Si dice -forma differenziale su un aperto una funzione che assegna ad ogni punto una classe in .

Formalmente si tratta di una mappa del tipo , tale che per ogni .

Come prima, scriveremo per comodità come .
Poiché , la definizione di -forma generalizza quella di -forma definita prima.
Poiché , una -forma su non è altro che una funzione da a .

Grazie alla Proposizione 3.7.4 e alla Proposizione 3.6.10, troviamo che una base per è data dagli elementi 𝓍𝓍Dunque, in ogni punto in , è una combinazione lineare del tipo 𝓍𝓍pertanto, in generale possiamo scrivere formalmente 𝓍𝓍Grazie a questa scrittura possiamo estendere la nozione di classe a qualunque -forma differenziale.

Definizione 3.7.12 (-Forme lisce).

Una -forma 𝓍𝓍su un aperto si dice di classe (o liscia) su , se le funzioni coefficienti sono tutte di classe su .

Denotiamo con l'insieme di tutte le -forme di classe su .

In particolare, osserviamo che .

Inn

Osservazione: Non esistono -forme differenziali su un aperto di , per .
Questo perché, date -forme 𝓍, almeno una deve figurare più volte, per cui il loro prodotto esterno è nullo.

come prodotto esterno volte di
...

Come nel caso , su possiamo definire delle operazioni naturali.

Date due -forme 𝓍𝓍e 𝓍𝓍, è ancora in la -forma 𝓍𝓍Similmente, dati 𝓍𝓍e una funzione , è ancora in la -forma 𝓍𝓍Quindi, con queste operazioni, abbiamo reso un -modulo.

C'è dell'altro; così come si identifica con , lo spazio si identifica con ;
il principio dietro l'identificazione è essenzialmente lo stesso .
Per ogni 𝓍𝓍, definiamo quindi 𝓍𝓍dove 𝓍è l'identificazione di 𝓍come elemento di (ovvero 𝓍con la definita come nella Proposizione 3.7.9).

A questo punto l'identificazione è chiara e di immediata verifica:

Proposizione 3.7.13 (Isomorfismo naturale tra e ).

Sia aperto.

La mappa è un isomorfismo di -moduli.

Il prodotto esterno di forme differenziali
...

Preso un aperto e date due forme differenziali e , possiamo definire il loro prodotto esterno , in maniera puntuale:

In termini di coordinate, se 𝓍𝓍e 𝓍𝓍, allora si trova che

𝓍𝓍𝓍𝓍

In

Nota: In questa somma, se gli insiemi e non sono disgiunti, allora il prodotto esterno corrispondente è nullo perché presenta un elemento almeno due volte;
pertanto, la somma è effettuata solo sulle coppie di collezioni di indici, tra loro disgiunte: 𝓍𝓍𝓍𝓍

Questa espressione mostra che:

  • Il prodotto esterno di forme differenziali lisce è ancora una forma differenziale liscia;
  • Il prodotto esterno di forme differenziali nel senso dato qui è pari al loro prodotto esterno di queste, viste come elementi del prodotto esterno su (In altri termini, la della Proposizione 3.7.13 preserva il prodotto esterno).

La derivata esterna
...

Abbiamo visto che il differenziale di una funzione è una -forma;
vogliamo ora generalizzare questa mappa, inviando le -forme in -forme.

Definizione 3.7.14 (Derivata esterna).

Sia aperto.

Data una funzione , si definisce derivata esterna di il suo differenziale: 𝓍Data una -forma 𝓍𝓍con intero, si definisce derivata esterna di la -forma 𝓍𝓍

​

Esempio 3.7.15 (Derivata esterna di una -forma su ).

Prendiamo la generica -forma , dove .

La sua derivata esterna è data da

Nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso della linearità e della proprietà alternante del prodotto esterno.

​
Vediamo quali proprietà soddisfa questa derivata speciale.

Proposizione 3.7.16 (Proprietà della derivata esterna).

Sia aperto;
sia intero.

La derivata esterna è -lineare;
Vale per ogni .

La linearità di è abbastanza immediata;
basta verificare la -linearità del differenziale, e applicare la -linearità del prodotto esterno nel caso generale.

Vediamo la seconda proprietà.
Per -linearità di basta verificare che per le forme del tipo 𝓍𝓍.
Abbiamo 𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍𝓍Questa ultima espressione è pari a in quanto:

Applicazioni all'analisi ordinaria
...

Forme differenziali esatte e chiuse
...

Ora che abbiamo contestualizzato le forme differenziali, possiamo definire in generale la nozione di forme esatte e chiuse.

Definizione 3.7.17 (Forme differenziali esatte e chiuse).

Sia aperto;
sia , con intero.

si dice esatta quando esiste tale che .

si dice chiusa quando .

​

Osservazione 3.7.18 (Legame tra le due definizioni).

Notiamo subito che una forma esatta è anche chiusa;
infatti, se per qualche forma di grado superiore, allora (Proposizione 3.7.16).

Gradiente, rotore e divergenza in
...

La teoria delle forme differenziali unifica molte nozioni e teoremi del calcolo vettoriale in .
Mostriamo come questi fatti calzano a pennello nel quadro delle forme differenziali.

Prima di tutto, dato aperto, se nell'analisi ordinaria consideriamo funzioni vettoriali , qui considereremo campi vettoriali .
Operativamente non cambia assolutamente nulla: al posto di mandare ogni in un elemento , lo mandiamo in un vettore tangente .
Facciamo questa scelta solo per avvicinarci di più alla teoria che abbiamo sviluppato.
Poi, per semplicità denoteremo il campo con .

Adesso, consideriamo gli spazi , al variare di .

  • Le forme differenziali in sono semplicemente le funzioni .

  • Le forme differenziali in sono del tipo , per cui possono essere identificate con i campi vettoriali su tramite la corrispondenza naturale

  • Le forme differenziali in sono del tipo , per cui possono essere identificate con i campi vettoriali su tramite la corrispondenza naturale

  • Le forme differenziali in sono del tipo , per cui possono essere identificate con le funzioni in tramite la corrispondenza naturale Applichiamo ora la derivata esterna sulle -forme, -forme, e -forme.

  • La derivata esterna di una -forma è dunque, con le identificazioni fatte corrisponde al gradiente di .

  • Applicando le proprietà del prodotto esterno, troviamo che la derivata esterna di una -forma è data da dunque, con le identificazioni fatte corrisponde al rotore di .

  • Applicando le proprietà del prodotto esterno, troviamo che la derivata esterna di una -forma è data da dunque, con le identificazioni fatte corrisponde alla divergenza di .

Quindi, con le opportune identificazioni, la derivata esterna unifica gli operatori gradiente, rotore e divergenza, a seconda che questa sia applicata alle 0-forme, 1-forme o 2-forme rispettivamente.
In sintesi, su un aperto , troviamo il diagramma

Pasted image 20240124210239.png

In base a queste identificazioni, un campo vettoriale su è il gradiente di una funzione di classe se e solo se .

Non solo;
proprietà come e sono immediate, per via del fatto che (Proposizione 3.7.16).

Table Of Contents

3.7 - Forme Differenziali

Le 1-forme differenziali

Il differenziale di una funzione

La base canonica per lo spazio cotangente

come modulo duale di

Le -forme differenziali

come prodotto esterno volte di

Il prodotto esterno di forme differenziali

La derivata esterna

Applicazioni all'analisi ordinaria

Forme differenziali esatte e chiuse

Gradiente, rotore e divergenza in