Affrontiamo adesso la teoria delle forme differenziali.
Questi oggetti sono di enorme aiuto in quanto, come vedremo, forniscono un approccio unificato per l'integrazione su varietà di qualunque dimensione.
Oltre al loro ruolo nell'integrazione, le forme differenziali forniscono un quadro per generalizzare vari concetti dal calcolo multivariabile come il prodotto vettoriale, il rotore e la divergenza, e il determinante Jacobiano.
Così come un campo vettoriale assegna un vettore tangente a ciascun punto di un aperto
Definiamo quindi, come prima cosa, lo spazio di questi funzionali.
Sia
Si dice spazio cotangente a
Pertanto, un elemento dello spazio cotangente
A questo punto possiamo dare la definizione parallela a quella di campo vettoriale.
Si dice
Formalmente si tratta di una mappa del tipo
Per comodità di notazione, denoteremo sempre
Da qualsiasi funzione
Sia
sia
Si dice differenziale di
Soffermiamoci un attimo su questa definizione.
La derivata direzionale di una funzione nella direzione di un vettore tangente in un punto
Sappiamo che un vettore tangente
Invece, il differenziale
Siano
sappiamo che
Esibiamo adesso la sua base duale, per lo spazio cotangente
Sia
sia
La sua base duale per lo spazio cotangente
Dimostrazione
Dobbiamo solo verificare che
Questo è vero, in quanto
Nota: Se
In questo modo, diamo significato a ciò che era semplicemente una notazione nell'analisi ordinaria.
Se
Al variare di
Come per i campi vettoriali, possiamo estendere il concetto di classe
Una
Denotiamo con
Vediamo come applicare la Proposizione 3.7.4 per scrivere il differenziale di una funzione in termini di coordinate.
Sia
sia
Si ha
Dimostrazione
In ogni punto
Allora, nella prima espressione possiamo sostituire
Sia
sia
Il differenziale
Dimostrazione
Basta vedere la scrittura di
le derivate parziali sono i coefficienti di
Le 1-forme differenziali sorgono naturalmente anche se siamo interessati solo ai vettori tangenti.
Al variare di
Come nel caso dei campi vettoriali, dato un aperto
Date due
Vediamo ora che, con questa struttura,
l'idea dietro l'identificazione è la seguente.
Per come l'abbiamo definita, una
allora, possiamo pensare di "invertire le valutazioni", e inviare prima un campo
Dato quindi
per ogni
Serviamoci quindi di queste mappe per identificare canonicamente
Sia
Per ogni
Si hanno i seguenti fatti:
Dimostrazione
La
Mostriamo che
Sia dunque
scriviamo
abbiamo
dunque troviamo che
Verifichiamo ora la suriettività di
Fissiamo dunque
consideriamo allora la
per ogni campo
Il Corollario 3.5.6 afferma che
dalla Proposizione 3.7.9 abbiamo allora che
Adesso applicheremo ciò che abbiamo visto in 3.6 - Un Po' di Algebra Multilineare > Il prodotto esterno, per definire una
Si dice
Formalmente si tratta di una mappa del tipo
Come prima, scriveremo per comodità
Poiché
Poiché
Grazie alla Proposizione 3.7.4 e alla Proposizione 3.6.10, troviamo che una base per
Una
Denotiamo con
In particolare, osserviamo che
Osservazione: Non esistono
Questo perché, date
Come nel caso
Date due
C'è dell'altro; così come
il principio dietro l'identificazione è essenzialmente lo stesso .
Per ogni
A questo punto l'identificazione è chiara e di immediata verifica:
Sia
La mappa
Preso un aperto
In termini di coordinate, se
Nota: In questa somma, se gli insiemi
pertanto, la somma è effettuata solo sulle coppie di collezioni di
Questa espressione mostra che:
Abbiamo visto che il differenziale di una funzione è una
vogliamo ora generalizzare questa mappa, inviando le
Sia
Data una funzione
Prendiamo la generica
La sua derivata esterna è data da
Nell'ultimo passaggio abbiamo fatto uso della linearità e della proprietà alternante del prodotto esterno.
Vediamo quali proprietà soddisfa questa derivata speciale.
Sia
sia
La derivata esterna
Vale
La linearità di
basta verificare la
Vediamo la seconda proprietà.
Per
Abbiamo
Ora che abbiamo contestualizzato le forme differenziali, possiamo definire in generale la nozione di forme esatte e chiuse.
Sia
sia
Notiamo subito che una forma
infatti, se
La teoria delle forme differenziali unifica molte nozioni e teoremi del calcolo vettoriale in
Mostriamo come questi fatti calzano a pennello nel quadro delle forme differenziali.
Prima di tutto, dato
Operativamente non cambia assolutamente nulla: al posto di mandare ogni
Facciamo questa scelta solo per avvicinarci di più alla teoria che abbiamo sviluppato.
Poi, per semplicità denoteremo il campo
Adesso, consideriamo gli spazi
Le forme differenziali in
Le forme differenziali in
Le forme differenziali in
Le forme differenziali in
La derivata esterna di una
Applicando le proprietà del prodotto esterno, troviamo che la derivata esterna di una
Applicando le proprietà del prodotto esterno, troviamo che la derivata esterna di una
Quindi, con le opportune identificazioni, la derivata esterna
In sintesi, su un aperto
In base a queste identificazioni, un campo vettoriale
Non solo;
proprietà come